D'Derivat vum Sinus vun de Wénkel ass gläich wéi d'Cosinus vum selwechte Winkel

A wat déi einfachst Trigonometriefunktion y = Sin (x) ass, ass et op all seng Punkten vun der ganzer Definitiounsdeng differenzéierbar. Mir musse beweisen, datt d'ADR vun der sine vun all Argument fir d'cosine vum selwechte Wénkel gläich ass, dat ass, "= Cos (x).

De Beweis baséiert op d'Definitioun vun der Derivativ vun der Funktion

Mir definéieren x (arbiträr) an e puer kleng Noperschaftsassociatiounen Δx vun engem bestëmmten Punkt x0. Loosst eis de Wäert vun der Funktioun eraussichen an am Punkt x de Inkrement vun enger Funktioun ze fannen. Wann Δh - Argument incremented, déi nei Argument - dat x ₀ + Δx = x, de Wäert vun dëser Funktioun fir soubal Wäert vun der Argument (x) ass dee selwechte Sënn (x ₀ + Δx), d'Funktioun Wäert op engem spezifesche Punkt (x ₀₎ ass och bekannt .

Elo hu mir Δu = Sënn (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - kritt increment Funktioun.

Mat der Sinusformel vun der Summe vun zwee ongläichwenge Winkel hu mir den Ënnerscheed Δy transforméiert.

Δu = Sënn (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sënn (Δx) Minus Sënn (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sënn ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx).

Leeschtung permutation Begrëffer gruppéiere éischt bis drëtt Sënn (x _0), d'gemeinsam Faktor geholl eraus - sine - de Klammeren. Mir hunn am Ausdrock den Ënnerscheed Cos (Δx) -1 kritt. Et bleift d'Unzeeche vum Zeil virun der Klammer an an der Klammer. Wësse wat 1-Cos (Δx) ass, bilden mir eng Substitutioun a kréien e vereinfachten Ausdrock Δy, dee mir Δx dann divizéieren.
Δu / Δh wäert Form hunn: Cos (x ₀₎ · Sënn (Δh) / Δh 2 · Sënn ² (0,5 x Δh) · Sënn (x ₀₎ / Δh. Dëst ass de Verhältnis vun dem Inkrement vun der Funktion bis zum zèhen Erhéijung vum Argument.

Et bleiwt fir d'Limite vum Verhältnis Lim ze fannen deen Δx fir Null ugedriwwe gëtt.

Et ass bekannt datt d'Limit Sin (Δx) / Δx 1 ass ënnert dës Bedingung. An der Ausdrock 2 · Sënn ² (0,5 x Δh) / Δh an déi doraus resultéierend Zomm allem Fraen ze Produit als éischt multiplier Aussergewéinlecht Limite mat: Kéier wäiss vun der Ëmwandlung an znemenatel Gruef duerch 2, schounen d'Feld vun der sine Produit. Hei ass esou:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 Δx)) · Sin (Δx / 2).
D'Limite vum Ausdrock fir Δx ze null null ass gläich null (1 multiplizéiert mat 0). Et stellt sech eraus datt d'Limite vun der Verhältnis Δy / Δh Cos ass (x ₀₎ · 1-0, dat ass Cos (x _0), den Ausdrock vun deem ass onofhängeg vun Δh bis 0 D'Conclusioun dackste: d'ADR vun der sine vun all Wénkel gläich ass fir x Cosine x, mir schreiwen als y '= Cos (x).

Déi entsteet Formel gëtt an de bekannten Dësch vun Derivaten agefouert, wou all Elementarfunktiounen

An léisen Problemer, wou hien d'ADR vun der sine trëfft, kënnt Dir d'Benotzung Regele vun dat a prett-feieren Formelen vum Dësch. Zum Beispill: d'Derivat vun der einfachst Funktioun y = 3 · Sin (x) -15. Mir benotzen d'elementar Reglementer vun der Differenzatioun, d'Entfernung vum numeresche Faktor hannert dem Zeechen vun der Derivat, an d'Berechnung vun der Derivat vun enger konstante Nummer (et ass null). Mir applizéieren den tabulativen Wert vun der Derivat vum Sinus vum Wénkel x, egal vu Cos (x). Mir kréien d'Äntwert: y '= 3 · Cos (x) -O. Dës Derivat handelen am Géigendeel eng elementar Funktioun y = 3 · Cos (x).

D'Derivat vun der Sin gouf duerch all Argumenter quadrat

An der Berechnung vum Ausdrock (Sënn ² (x)) "muss erënneren wéi ënnerscheet komplex Funktioun. Also ² = Sënn (x) - ass eng Kraaft Funktioun als sine wäissfeldreg. Säin Argument ass och eng trigonometresch Funktioun, Komplex Argument. D'Resultat zu dësem Fall ass gläich wéi dem Produit, deem säin éischte Faktor ass d'Derivat vum Quadrat vum gegebene komplex Argument, an d'zweet ass d'Derivat vum Sinus. Dëst ass wéi d'Regel fir eng Funktioun vun enger Funktioun ausfaalt: (u (v (x))) 'ass gläich wéi u (u (v (x)))' (v (x)) '. Den Ausdrock v (x) ass e komplexen Argument (intern Funktioun). Wann d'Funktioun "igrok egal mat dem Sinus an der Quadrat x" gegeben ass, da kënnt d'Derivat vun dëser komplexer Funktion y = 2 · Sin (x) · Cos (x). Am Produkt ass de éischt verdoppelte Multiplizéier d'Derivat vun der bekannter Muechtfunktioun, an de Cos (x) ass d'Derivat vum Sinus, d'Argument vun enger komplexer quadratescher Funktioun. D'Enderkennung kann duerch d'Trigonometrie Sinusformel vum Duebelwénkel verwandelt ginn. Äntwert: D'Derivat ass Sënn (2 x). Dës Formel ass liicht erënnert, et gëtt oft als Tafel benotzt.