D'onbestëmmten integral. Berechnung vun onbestëmmten integrals

Ee vun de fundamental Rubriken vun mathematesch Analyse ass de integral d. Et deckt eng ganz breet Feld vun Objete, wou den éischte - et der onbestëmmten integral ass. Positioun et steet als Schlëssel, datt nach am Lycée ass eng waarden Zuel vu Perspektiven a Méiglechkeeten verréid eis, wéi héich Mathematik beschreift.

krut

Op den éischte Bléck, schéngt et zudéifst integral ze modern, Javuier, mä an der Praxis ass et vläit, datt hien zréck an 1800 huet v. Home zu offiziell Egypten als net eis gemaach erreechen virdrun Beweis vun hirer Existenz. Et gutt opgepasst Informatiounen, all iwwerdeems hir einfach als Phänomen. Hien certifiéert eng Kéier den Niveau vun wëssenschaftlech Entwécklung vun de Populatiounen vun deenen Zäiten. Endlech, goufen d'Wierker fonnt antike griichesche Mathematiker, aus dem 4. Joerhonnert v daten. Si beschreiwen d'Method benotzt wou de onbestëmmten integral, d'Essenz vun deem huet sech d'Volumen oder Deel vun enger curvilinear Form ze fannen (dräi-zweedimensional an zwee-zweedimensional Fliger, bzw.). Berechnung op de Prinzip vun der Divisioun vun der Original Figur an infinitesimal Komponente baséiert war, gëtt dat d'Volumen (Géigend) scho hinnen bekannt ass. Méi Zäit, huet d'Method ugebaut, benotzt Archimedes et der Géigend vun engem parabola ze fannen. Ähnlech Berechnungen an der selwechter Zäit regéiert am antike China ze Exercice, wou se komplett onofhängeg vum griichesche Matbierger Wëssenschaft goufen.

Entwécklung

Déi nächst Chance am XI Joerhonnert v huet d'Aarbecht vun den arabesche Léier ginn "Printen" Abu Ali al-Basri, déi de Grenze vun der scho bekannt Bergseng, sech aus der integral Formule ofgeleet fir oofhalen d'Zomme vun de Quantitéiten a Grad vun der éischter op déi véiert, fir dës un eis bekannt Kandidatur Aféierungs- Method.
Geescht vun haut gi bewonnert vum antike Ägypter der erstaunlech Monumenter ouni speziell Instrumenter hunn, ausser dass hir eegen Hänn, mä et ass net eng Kraaft rosen Wëssenschaftler vun der Zäit keen manner e Wonner? Am Verglach mat den aktuellen Zäiten vun hirem Liewen schéngen bal Ongewéinlech, mä d'Decisioun vun onbestëmmten integrals iwwerall hutt an fir Weiderentwécklung an Praxis benotzt.

Déi nächst Schrëtt, dee Plaz am XVI Joerhonnert, wou d'italienesch Mathematiker Cavalieri indivisibel Method bruecht, déi Plaz ofgeholl Per Ferma. Dës zwee Perséinlechkeet geluecht d'Fëllement fir déi modern integral d, déi am Moment bekannt ass. Si Kierf de Konzepter vun dat an Integratioun, déi virdrun als Self-Texter Unitéiten gesi waren. Duerch a grouss, huet sech d'Mathematik vun där Zäit fragmentaresch Deelchen Experienz vun selwer existéieren, mat limitéiert benotzen. Manéier Talenter a gemeinsam Buedem fannen war déi eenzeg am Moment richteg, merci fir him, déi modern mathematesch Analyse der Geleeënheet hu wuessen an entwéckelen.

Mat dem Passage vun Zäit Ännerungen alles an der integral Symbol och. Duerch a grouss, war et Wëssenschaftler designéierte deen a senger eegener Aart a Weis, zum Beispill, Newton engem Feld icon benotzt, déi eng integrable Funktioun huet, oder einfach zesummen no. Dëst disparity gedauert bis d'XVII Joerhonnert, wou eng geographesch fir déi ganz Theorie vun mathematesch Analyse Wëssenschaftler Gotfrid Leybnits agefouert esou engem Charakter kennt eis. Verlängerten "S" ass op dësem Bréif vu eigentlech baséiert de Roman Alphabet, well d'Zomm vun allgemeng Strukturreform ADR. Den Numm vun der integral kritt merci un Jakob Bernoulli, no 15 Joer.

D'formell Definitioun

D'onbestëmmten integral hänkt vun der Definitioun vun der Ongewéinlech, also mir betruecht et an der éischter Plaz.

Antiderivative - ass de ëmgedréit, et gesäit Funktioun vun der ADR, an der Praxis et Ongewéinlech genannt ass. Soss: Ongewéinlech Funktioun vun d - ass eng Funktioun D, wat der ADR V <=> ass V "= V. Sich Ongewéinlech ass de onbestëmmten integral ze berechnen, an de Prozess selwer ass Integratioun genannt.

Beispill:

D'Funktioun vum (y) = y ^3, a seng Ongewéinlech S (y) = (y ^4/4).

D'Formatioun vun all allgemeng Strukturreform vun der Funktioun - dëst en onbestëmmten integral ass, mat et wéi follegt: ∫v (x) dx.

Opgrond vun der Tatsaach, datt V (x) - sinn nëmmen e puer Ongewéinlech original Funktioun, Ausdrock hält: ∫v (x) dx = V (x) + C, wou C - konstant. Ënnert der arbiträr konstante rappeléiert all konstant, well hir kuckt virdrun null ass.

Eegeschafte

D'Eegeschafte vun der onbestëmmten integral haat, am Fong baséiert op der Definitioun an Eegeschafte vun dësem Projet.
Betruecht de Schlëssel Punkten:

• integral kuckt virdrun vun der Ongewéinlech ass Ongewéinlech selwer plus eng arbiträr konstante C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• kuckt virdrun vun der integral vun enger Funktioun ass d'Original Funktioun <=> (∫v (x) dx) "= V (x);
• konstante ass aus ënner integral Zeechen geholl aus <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, wou K - ass arbiträr;
• integral, déi aus der Zomm vun der identically gläich op d'Zomm vun integrals <=> ∫ (V. (y) + W (y)) gekierzt = ∫v (y) gekierzt + ∫w (y) gekierzt ginn ass.

De leschten zwee Eegeschafte kënnen ofgeschloss ginn, datt déi onbestëmmten integral ass linear. Wéinst deem, hu mer: ∫ (KV (y) gekierzt + ∫ LW (y)) gekierzt = k∫v (y) gekierzt + l∫w (y) gekierzt.

Ze gesinn Beispiller vu Léisungen onbestëmmten integrals Bauer.

Du muss der integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx fannen:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Aus dem Beispill kënne mir schléissen, datt Dir wësst nët wéi onbestëmmten integrals ze léisen? fannen Just all allgemeng Strukturreform! Mä d'Sich no de Prinzipien ënnert diskutéiert.

Methoden an Beispiller

Fir de integral ze léisen, kënnt dir op de folgende Methode Auswee:

• prett Virdeel vun den Dësch ze huelen;
• integréiert vun Deeler;
• integréiert vun der Variabel ersat;
• summing ënnert dem Zeechen vun der differentiell weider.

Dëscher

De stäerkste einfach an agréabel Aart a Weis. Am Moment, kann mathematesch Analyse bretzen ganz extensiv Dëscher, déi déi elementar Formule vun onbestëmmten integrals Aussepolitik eraus. An anere Wierder, si do Skeletter Iech ofgeleet an du kanns nëmmen Virdeel vun hinnen huelen. Hei ass d'Lëscht vun den Haapt Dësch Positiounen, déi quasi all Beispill ugewisen kann, huet eng Léisung:

• ∫0dy = C, wou C - konstante;
• ∫dy = y + C, wou C - konstante;
• ∫y ⁿ gekierzt = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, wou C - eng konstant, an n - Zuel anescht aus Unitéit;
• ∫ (1 / y) gekierzt = Am | y | + C, wou C - konstante;
• ^{∫e y gekierzt = E y + C} , wou C - konstante;
• ^{∫k y gekierzt = (k y /} Am k) + C, wou C - konstante;
• ∫cosydy = siny + C, wou C - konstante;
• ∫sinydy = -cosy + C, wou C - konstante;
• ∫dy / Cos ² y = tgy + C, wou C - konstante;
• ∫dy / Sënn ² y = -ctgy + C, wou C - konstante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, wou C - konstante;
• ∫chydy = schei + C, wou C - konstante;
• ∫shydy = chy + C, wou C - konstant.

Wann néideg, maachen e puer Schrëtt integrand zu engem Tabelleform Vue nodeems an der Victoire genéissen. BEISPILL: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x Sënn (5x - 2) + C.

rauszesichen änneren no der Decisioun ass et kloer, datt zum Beispill en Dësch integrand multiplier Éloquence 5. Mir si mat dësem multiplizéieren vun 1/5 zu allgemengen Ausdrock an parallel Foto.

Integratioun vun Parts

Betruecht zwou Funktiounen - Z (y) an x (y). Si mussen op seng Domain kontinuéierlech differentiable ginn. An eent dat Eegeschafte mir hunn: d (xz) = xdz + zdx. Integréiert zwou Säiten, kréien mir: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Superjet déi doraus resultéierend Equatioun agefouert, kréien mir d'Formule, déi d'Method vun Integratioun duerch Deeler beschreift: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Firwat ass dat noutwendeg? D'Tatsaach, datt e puer vun de Beispiller et méiglech ass ze einfach, mer elo soen, ∫zdx ∫xdz ze reduzéieren, wann der deen an der Tabelleform enk ass. Och, kann dës Formule méi wéi eemol benotzt ginn, fir optimal Resultater.

Wéi onbestëmmten integrals dës Manéier ze léisen:

• néideg ∫ (s + 1) E ^2s DS ze berechnen

∫ (x + ^{1) E 2s DS = {Z =} s + 1, DZ = DS, y 1 ^{/ 2e 2s =, gekierzt = E 2x} DS} = ((s + 1) E ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) E ^2s) / 2-E ^2s / 4 + C;

• muss Berechent ∫lnsds

∫lnsds = {Z = lns, DZ = DS / s, y = s, gekierzt = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Urode der Variabel

Dëse Prinzip vun onbestëmmten integrals Problemer sinn net manner an Nofro wéi déi virdrun zwee, wann komplizéiert. D'Method ass wéi follegt: Loosst V (x) - de integral vun e puer Funktioun V (x). Am Fall, datt u sech integral an Beispill slozhnosochinenny kënnt, ass wahrscheinlech duercherneen ze kréien an déi falsch Wee Léisungen goen verwandelt huet. Ze vermeiden dëser Praxis änneren aus der Variabel x bis Z, vun deenen der allgemengen Ausdrock visuell vereinfacht während der Z Erhalen op x jee.

An mathematesch Begrëffer, ass dat wéi follegt: ∫v (x) dx = ∫v (y (Z)) y "(Z) DZ = V (Z) = V (y -1 (x)), wou x = y ( Z) - wéilt eng Auswiesselung maachen. An, natierlech, der ëmgedréit, et gesäit Funktioun Z = y ^-1 (x) beschreift voll d'Relatioun an d'Relatioun vun Verännerlechen. Wichteg Note - de differentiell dx onbedéngt mat engem neie differentiell DZ ersat, well d'Ännerung vun ofwiesselnd am onbestëmmten integral handelt et Urode iwwerall, net nëmmen an der integrand.

Beispill:

• fannen muss ∫ (s + 1) / (den ² + 2s - 5) DS

Demande de Wiessel Z = (s + 1) / (den ² + 2s-5). Da DZ = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) = DS DZ / 2. Als Resultat, den folgenden Ausdrock, déi ganz einfach ass ze berechnen:

∫ (s + 1) / (den ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | den ² + 2s-5 | + C;

• Dir musst der integral fannen ∫2 ^den E ^s dx

Fir d'misse vun de folgende Formulaire léisen:

^{∫2 den E s DS = ∫ (} 2e) den DS.

Mir Geleeënheet vun engem = 2e (Ersatz vun der Argument dëse Schrëtt ass net, et ass nach en), mir ginn eis wuel net erklären komplizéiert integral un d'Basis Tabelleform:

^{∫ (2e) den DS = ∫a} den DS = engem s / lna + C = (2e) s / Am (2e) + C = 2 ^ass e ^s / Am (2 + lne) + C = 2 ^ass e ^s / (ln2 + 1) + C.

Summing an eng differentiell Zeechen

Duerch a grouss, dës Method vun onbestëmmten integrals - de Brudder vum Prinzip vun der Verännerung vun Variabel, mä et ginn Ënnerscheeder an de Prozess vun Aschreiwung. Loosst eis méi am Detail betruecht.

Wann ∫v (x) dx = V (x) + C an y = Z (x), da ∫v (y) gekierzt = V (y) + C.

Gläichzäiteg musse mir d'kleng integral Fraen net vergiessen, dorënner déi:

• dx = d (x + en), an Hellef - all konstante;
• dx = (1 / engem) d (Axt + b), wou en - konstante erëm, mä net null;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Wa mir den allgemenge Fall betruecht wou mir der onbestëmmten integral Berechent, kann Beispiller ënner dem Generol Formule W "(x) dx = perséinlech Meenung (x) @Steven ginn.

Beispiller:

• fannen muss ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + ^{3) 2)} / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

online Hëllef

An e puer Fäll kënnen d'Schold vun deem ginn oder Kanner waren, oder eng dréngend brauchen, kanns de online hin benotzen, oder éischter, e Rechner onbestëmmten integrals konzentréiert. Trotz der Komplexitéit visuell a kontrovers Natur vun der integrals, ass d'Decisioun Thema un hir spezifesch Algorithmus, déi op de Prinzip vun baséiert ass "wann dir net ... dann ...".

Natierlech, gëtt net eng besonnesch raffinéiert Beispiller vun esou enger Rechner Meeschtesch, wéi et Fäll sinn an déi eng Entscheedung en Fëschweier vum Aféiere verschidden Elementer am Prozess "gezwongen" ze fannen ass, well d'Resultater kloer Weeër ze erreeche sinn. Trotz de kontroversen Natur vun dëser Ausso, ass et richteg, wéi der Mathematik, am Prinzip, eng mythologesch Wëssenschaft, a seng Primärschoul Zil méngt der brauchen d'Grenzen ze erlaangen. Jo, fir eng glat Course-am Theorië ganz schwiereg ass ze plënneren an entwéckelen, also dovun ausgoen nët dass d'Beispiller vun onbestëmmten integrals erauszefannen, wat eis huet - dat der Héicht vu Méiglechkeete gëtt. Mä zréck an d'technesch Säit vun Saachen. Op d'mannst de Berechnungen ze kontrolléieren, kënnt Dir de Service an deem Gebrauch et un eis geschriwwen. Wann et e Besoin fir automatesch Berechnung vun komplex Ausstralung ass, da mussen se net zu engem méi eeschten Software Auswee. Soll oppassen virun allem op d'Ëmwelt MatlabLanguage.

Applikatioun

D'Decisioun vun onbestëmmten integrals um éischte Bléck schéngt aus Realitéit komplett ugebauten, well et schwiereg ass de iwwersinn Gebrauch vum Fliger ze gesinn. Jo, benotzen se direkt iwwerall kann Iech net, mä si sinn e néideg Mëttelstuf Element am Prozess vun Austrëtt vu Léisungen an Praxis benotzt. Sou, deelhuelende der Integratioun vun zeréck dat, also aktiv am Prozess Equatioune vun léisen.
Am Tour, hunn dës Equatioune engem direkten Impakt op d'Entscheedung vun mechanesch Problemer, trajectory Berechnung an thermesch Leit - an kuerz, alles datt de Moment an ugepaakt Zukunft steet. Onbestëmmten integral, Beispiller vun deem mir virun considéréiert hunn, nëmme kleng op den éischte Bléck, als Basis ëmmer méi nei Entdeckungen ze üben.