Boolschen Algebra. Algebra vu Logik. Elementer vun mathematesch Logik

An haut d'Welt si mat mir ëmmer méi eng ville Maschinnen an Gadgeten. An net nëmmen, wann et néideg ass wuertwiertlech ongeheier Kraaft ze gëllen: d'Laascht plënneren et un der Héicht ze ënnerstëtzen, Moment laang an déif Trenchcoat, etc. Cars haut Roboteren sammelen, Iessen gekacht Multivarki an Elementar- Mathematik Berechnungen d'Aarbecht produzéiere ... Méi a méi oft héieren mir den Ausdrock "Boolschen Algebra". Vläicht ass d'Zäit komm, der Roll vum Mënsch an der Schafung vun Roboteren an Maschinnen der Konterstäerkt léisen net nëmmen mathematesch, mä och ze verstoen logesch Problemer.

Logik

Am griichesche Logik - eng bestallt System geduecht dass d'Relatioun tëschent der entscheet Konditiounen schaaft an erlaabt Iech inferences op anzeschätzen an Aschätzunge Basis ze maachen. Ganz oft, froen mir all aner: "Et ass logesch ze" D'geäntwert eis anzeschätzen certifiéert oder kritiséieren den Zuch vun geduecht. Mä de Prozess stoppen net do: mir ze schwätzen weidergespillt.

Heiansdo d'Zuel vun Konditiounen (Input) ass esou grouss, an d'Relatioun tëschent hinnen ass esou konfus a komplex, dass de Mënsch Gehir net méiglech ass ze "erbléckt" all Kéier op. Dir kënnt méi wéi ee Mount brauch (Woch Joer) fir d'Verständnis vun deem wat geschitt ass. Mee modern Liewen heescht ginn eis net dës Kéier Intervalle Décisiounen ze maachen. A mir Auswee op d'Hëllef vun Computeren. An et ass hei, datt et eng Algebra ass an Logik, mat senge Gesetzer an Eegeschaften. No all vun der Original Daten eroflueden, erlaabt mir de Computer all Bezéiungen ze erkennen, ze contradictions Mietsgesetz an eng zefriddestellend Léisung ze fannen.

Mathematik a Logik

Berühmte Gotfrid Vilgelm Leybnits formuléiert d'Konzept vun "mathematesch Logik", déi Aufgaben waren einfach nëmmen engem klenge Krees vun Geléiert ze verstoen. Vun allem Interessi ass d'Richtung rauszesichen Ursaach, an der Mëtt vum XIX Joerhonnert vun Logik mathematesch duerch wéineg bekannt.

De groussen Interessi vun der wëssenschaftlecher Kommunautéit huet eng Dispute an deem och den engleschen Dzhordzh Bul seng Absicht deklaréiert ëmmer eng Agence vun Mathematik gedoe, net absolut keng praktesch benotzen mussen. Wéi mer aus der Geschicht kennen, aktiv um dës Kéier industrieller Produktioun entwéckelen, mir all Zorte vun Weibëschof Maschinnen entwéckelt, t. E. All wëssenschaftlech Entdeckungen hunn eng praktesch Orientatioun haten.

Gedanke, soe mer, datt e Boolschen Algebra - am meeschte benotzt an der Welt haut Deel vun Mathematik. Sou Är Argument Buhl verluer.

Dzhordzh Bul

D'Perséinlechkeet vum Auteur verdéngt speziell Opmierksamkeet. Och d'Tatsaach entscheet, datt an der Vergaangenheet Leit virun eis opgewues, nach soll et, datt vun John an den 16 Joer feststellen ginn. Buhl am Duerf Schoul geléiert, an bis 20 Joer opgemaach seng eege Schoul am Lincoln. Mathematiker perfekt fënnef Friemsproochen léisen, a seng Komeroden, huet sech d'Wierker vun Newton an Lagrange liesen. An all dëse - op eng normal Aarbechter d'Jong!

An 1839, wou den Buhl seng éischt wëssenschaftlech Aarbechten am Cambridge Mathematësch Journal. Wëssenschaftler war 24 Joer. Boole d'Aarbecht ass also interesséiert Membere vun der Royal Society, a 1844 huet hien eng Medaille fir säi Bäitrag zu der Entwécklung vun scho mathematesch Analyse. E puer publizéiert Aarbechten an deem d'Elementer vun mathematesch Logik, Mathematik déi jonk Nodeems de Posten vum Professer am College vun wëllkommen Grofschaft ze huelen waren beschriwwen. Réckruff datt um ganz Boole Edukatioun net.

Iddi

Am Prinzip, ass Boolschen Algebra ganz einfach. Et sinn Aussoen (logesch Ausstralung) dat, aus der Siicht vun der Mathematik, kann nëmmen an zwee Wierder definéiert ginn: "richteg" oder "falsch". Zum Beispill, Beem am Fréijoer Bléi - d'Wourecht, am Summer snows et - eng Ligen. Der Schéinheet vun Mathematik ass, datt et net streng néideg ass nëmmen Zuelen ze benotzen. Fir d'Algebra Uerteeler fit relativ all Aussoen mat eenzegaarteg Bedeitung.

Also, kann der Algebra vun Logik wuertwiertlech iwwerall benotzt ginn: am kann a Schreiwen Uweisunge, Analyse vun contraire Informatiounen iwwert d'Evenementer an der Determinatioun vun der Haaptrei vun Aktiounen. Déi wichtegst Saach - ze mierken, datt et net heescht egal wéi mir der Wourecht oder falsity vun Aussoen bestëmmen. Vun dësen "wéi" an "firwat" musst Dir ignoréieren. Wat wichteg ass nëmmen eng Ausso vun Fait: d'Wourecht eng Ligen ass.

Natierlech, programméiere déi wichtegst Funktioune vun der Algebra vun Logik, datt mat passenden Schëlder a Symboler opgeholl ginn. A léieren hinnen - et heescht, eng nei Sprooch ze léieren. Näischt ass onméiglech.

Basis Konzepter an Definitiounen

Ouni brutal Déift, vill mir mat Terminologie. Also Boolschen Algebra Viraussetzung:

• Aussoen;
• logesch Operatiounen;
• Funktiounen a Gesetzer.

Aussoen - all Nuecht Ausdrock, datt zwee-opgewäert interpretéiert ginn. Si sinn den Zuelen (5> 3) oder formuléiert kennt Wierder (Nitrater - de gréisste Mamendéieren) geschriwwen. An dësem Fall, "ass d'Giraff de Hals net" den Ausdrock och e Recht, just Boolschen Algebra definéieren et esou ze existéieren huet "eng Ligen."

All Aussoen soll eendeiteg sinn, mä se kann Basis oder Facettenaen ginn. Rezent benotzen logesch Package. E. Am Algebra Aussoen Uerteeler Facettenaen vun der Zousätzlech vun Elementar- Logik Operatiounen gemaach.

Boolschen Algebra Operatiounen

Mir erënneren schonn, datt d'Operatiounen am Algebra vun Uerteeler - logesch. Just als Algebra vun Zuelen der Mathematik Operatiounen benotzt ze erhéichen subtract, oder Zuelen vergläichen, erlaben mathematesch Logik Elementer komplex Aussoen ze maachen, ze verleegnen oder d'final Resultat ze berechnen.

Logik Operatiounen vun der Kierch an Simplicitéit vun der Formel ausgedréckt, kennt fir eis an Mathematik. Eegeschafte vun Boolschen Algebra Equatioune maachen et méiglech Rekord an der onbekannt Berechent. Logesch Operatiounen sinn normalerweis vun der Wourecht Dësch opgeholl. Sengen Elementer definéieren Sailen an Rechenzäit Operatioun déi op se gesuergt ass, an den Zeile weisen d'Resultat vun Berechnungen.

Basis Logik vun Aktioun

De stäerkste gemeinsam am Boolschen Algebra Operatiounen sinn Negatioun (NET), an der logesch AN an ODER. Esou ass et méiglech all ze beschreiwen praktesch de Schrëtt an Algebra Uerteeler. Mir studéiert am Detail jiddereng vun den dräi Operatiounen.

D'Negatioun (net) ass fir nëmmen eent Element (operand) applizéiert. Also, ass d'Operatioun e unary Negatioun genannt. Fir Rekord d'Konzept vun "net A" mat esou Symboler: ¬A, engem oder A !. An Tabelleform gesäit et esou:

D'Funktioun vun Negatioun typesch vun esou enger Ausso: Wann A richteg ass, da A - ass falsch. Zum Beispill, dréint de Mound ëm d'Äerd - d'Wourecht; Äerd ëm de Mound - eng Ligen.

Logesch ëmmer méi an Zousätzlech

Logesch AN Operatioun ass eng verzweifelt genannt. Wat heescht dat? Éischtens, datt et kann zu zwee operands applizéiert ginn, dat heescht, ech - .. binär Operatioun. Zweetens, ass et nëmmen am Fall vun der Wourecht souwuel operands (souwuel A a B) wouer ass an der Ausdrock selwer. D'fonktionéiert, "Gedold an e bëssen Effort" erausfonnt, datt nëmmen zwee Facteuren eng Persoun eens mat de Schwieregkeeten hëllefe kann.

A∧B, A⋅B oder A && B.: Symboler sinn fir Opnahmen benotzt

Verzweifelt ass ähnlech zu Mathematik zu ëmmer méi. Heiansdo a soen - logesch ëmmer méi. Wann Dir d'Elementer vun der Présentatioun vun den Dësch féngeren, mir Resultat ähnlech ze logesch denken kréien.

Violonist ass eng logesch ODER Operatioun. Et ass wouer, wann op d'mannst ee vun den Aussoen richteg ass (entweder A oder B). Et ass geschriwwe wéi dëst: A∨B, A + B oder A || B. der Wourecht Dësch fir dës Operatiounen sinn:

Violonist ähnlechen Mathematik Zousätzlech. logesch Zousätzlech Operatioun huet nëmmen eng Restriktioun: 1 + 1 = 1. Mee mir erënneren, datt an engem digitale Format ze mathematesch Logik limitéiert ass 0 an 1 (wou 1 - d'Wourecht, 0 - falsch). Zum Beispill, d'Ausso "kann an de Musée du e Gainsboug gesinn oder eng gutt Firma fannen" heescht, wat dir Wierker vu Konscht kucken kann, an et ass méiglech eng interessant Persoun ze treffen. An der selwechter Zäit, do Regel aus net d'Méiglechkeet vun simultan Entfaalung vun zwee Evenementer.

Funktiounen a Gesetzer

Also kennt mer schon wat d'logesch Operatioun Boolschen Algebra benotzt. Funktiounen beschreiwen all d'Eegeschafte vun der Elementer vu mathematescher Logik, an erlaben eis komplex Facettenaen Aussoen ze vereinfachen. De stäerkste kloer an einfach schéngt Ofleenung Besëtz vun der dësem Projet Operatiounen. Vun dësem Projet sinn verstane XOR, deemno a Relatioun. Well mer nëmmen mat der Basis Operatiounen gelies hunn, an dann och am Besëtz ass nëmmen hinnen betruecht.

Associativity heescht, datt am Aussoen wéi "souwuel A a B, an B" Haaptrei Oplëschte vun der operands Matière net. D'Formel ass schrëftlech wéi follegt:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Wéi Dir gesitt kann, ass dat op de verzweifelt net eenzegaarteg mee e Violonist.

Commutativity PSA dass d'Resultat vun der verzweifelt oder Violonist op déi net ofhängeg Punkt um Ufank geduecht war:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity erlaabt Klammeren an komplex logesch Ausstralung präiszeginn. Regele sinn ähnlech zu der Ouverture parenthesis an der ëmmer méi an Zousätzlech zu Algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Eenheet Eegeschaften an Schrummen, wat ee vun de operands ka sinn och ähnlech zu der glécklech ëmmer méi vun null oder eent, an zousätzlech vun enger Unitéit:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency seet eis, datt wann relativ zwee gläichberechtegt operands d'Resultat vun der Operatioun déi selwecht ass, kënnt dir "geheien" d'iwwerschësseg komplizéiere dofir wier operands. An der verzweifelt an Violonist Operatiounen sinn idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Acquisitioun erlaabt och eis der Equatioun ze vereinfachen. Un- Staaten, datt wann de Ausdrock ze eent operand applizéiert ass, aner Operatioun mat de selwechten Element vun der Resultat operand Operatioun ass Opsaug-.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

Haaptrei vun Operatiounen

D'Haaptrei vun Operatiounen ass vu grousser Wichtegkeet. Eigentlech, wéi fir Algebra, et ass eng Prioritéit Funktioun datt e Boolschen Algebra benotzt. Formelen kann op d'Bedeitung vun den Operatiounen nëmmen Sujet vereinfacht ginn. Ranking vun déi bedeitendst zu negligible, kréien mir déi folgend Haaptrei:

1. Negatioun.

2. verzweifelt.

3. D'Violonist, XOR.

4. D'deemno Relatioun.

Wéi kanns du nëmmen d'Negatioun vun der verzweifelt gesinn an net gläich Prioritéit hunn. Eng Prioritéit vun de Violonist a XOR sinn selwecht, wéi och d'Prioritéite vun deemno a Relatioun.

Funktiounen vun deemno a Relatioun

Wéi mer gesot hunn, mat dësem Projet an Nieft der Basis logesch Operatiounen, mathematesch Logik an Theorie vun algorithms. Et ass déi oft déi deemno a Relatioun.

D'deemno oder logesch Konsequenz - dëser Ausso, an deem eng Aktioun ass eng Konditioun, an déi aner - d'Resultat vun hirer Ëmsetzung. An anere Wierder, dës Propose mat der Begrënnung vun "wann ... dann". "Nom Iessen kënnt der reckoning." E. Fir dreiwend op den T Hiwwel gin Netz. Wann et kee Wonsch aus dem Bierg ze spektakulären Ugrëff ass, an dann den T souvill ass net néideg. Ass geschriwwe also: A → B oder A⇒B.

Relatioun erausfonnt, datt d'Netz Effekt existeiert nëmmen wann souwuel operands richteg sinn. Zum Beispill, gëtt Nuecht zu Dag Manéier dann (an nëmmen dann), wou d'Sonn iwwer dem Stadion heft. An der Sprooch vun mathematesch Logik vun dëser Ausso ass wéi A≡B geschriwwen, A⇔B, A == B.

Aner Gesetzer vun Boolschen Algebra

Algebra Uerteel entwéckelt, a vill interesséiert Wëssenschaftler nei Gesetzer sech wuel. De stäerkste berühmt ginn als z'intégréieren iwwermotivéiert Mathematiker O. De Morgan. Hien huet gemierkt an huet eng Definitioun vun esou Eegeschafte wéi enk Negatioun, Zousätzlech an duebel negativ.

Zoumaachen Negatioun hindeit datt virum parenthesis nee ass virgeworf: net (A oder B) = net A oder B. NET

Wann der operand Refusen ass, egal vu sengem Wäert, soen iwwer Zousätzlech:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

An endlech, d'duebel Negatioun selwer compensates. dh virun entweder operand Negatioun verschwënnt oder bleift nëmmen eng.

Wéi léisen Tester

Logik beinhalt Vereinfachung Prinzip Equatioune. Just wéi am Lie Algebra, ass et néideg fir maximally éischt Konditioun erliichtert (fir vun komplizéiert Input Operatiounen kreien, a mat hinnen), dann fänkt fir eng richteg Äntwert sichen.

Wat maachen ze vereinfachen? Geflunn all dësem Projet an engem einfache Operatioun. Da Entdeckt eis Auswiel all Klammeren (oder verletze kann, fir d'Klammer maachen dëst Element ze reduzéieren). Déi nächst Schrëtt sollen Eegeschafte Boolschen Algebra ze benotzen an Praxis (Un- Eegeschafte null an eent, an net.).

Schlussendlech, sollen der Equatioun vun engem Minimum Zuel vun has begräifen, kombinéiert mat einfach Operatiounen. Déi einfachsten Aart a Weis fir eng Léisung am Wanterschlof, wann Dir eng grouss Zuel vun enker Negativer maachen. Da wäert d'Äntwert Pop weider wéi wann duerch selwer.