Russell d'Paradox: elementar Informatiounen, Beispiller, Formuléierung

Russell Paradox ass zwee interdependent logesch antinomy.

Zwou Forme vun Russell d'Paradox

De stäerkste oft diskutéiert Form vun engem Wéi am Logik baut. Verschiddener vun der Formatioun schéngt de Membere selwer, an anerer ginn - kee. D'Formatioun vun all baut ass selwer e virbereet, sou schéngt et, datt et bis selwer bezitt. NULL oder eidel, sollt awer net Member vun sech gin. Also, ass d'Formatioun vun all baut, wéi null net nees selwer mat abegraff. De Paradox loossen, wann d'Fro vun ob d'Formatioun vun engem Member vun selwer. Dat ass méiglech, wann a nëmme wann et net.

Aner Form Paradox ass eng Wéi iwwer Eegeschafte. Verschidden Eegeschaften, schéngt fir selwer ze leeden, anerer net. De Besëtz gin der Propriétéit selwer eng Propriétéit ass, iwwerdeems de Besëtz et ginn eng Kaz ass net. Betruecht der Propriétéit eng Propriétéit vun mussen déi net zu him gehéiert. wann et zielt fir selwer? Erëm, soll keng vun de anzeschätzen de Géigendeel ginn. De Paradox war zu Éiere vun Bertrand Russell (1872-1970) genannt, déi et am Joer 1901 entdeckt.

Geschicht

Ouverture Russell ass bei seng Aarbecht op "Grondsätz Mathematik". Obwuel hien de Paradox onofhängeg entdeckt, et ass evident, datt aner Mathematiker an Entwéckler vun Formatioun Theorie, dorënner Ernst Zermelo an David Hilbert, vun der éischter Versioun vun contradictions virun him bewosst waren. Russell, war awer, déi éischt déi de Paradox a sengem publizéiert Wierker am Detail diskutéiert, éischt probéiert Léisungen sech wuel, an déi éischt komplett seng Bedeitung ze appreciéieren. E ganzt Kapitel vun "Grondsätz" war ze Diskussioun vun dësem Problem e, an der Applikatioun war zu der Theorie vun Zorte e, déi Russell als Léisung proposéiert.

Russell entdeckt de "Paradox vun der Ligener", Kapser d'Formatioun Theorie que dat seet, datt d'Muecht vun all Formatioun ass méi kleng wéi d'Formatioun vu senge subsets. Op d'mannst am Domän soll esou vill subsets ginn wéi et Elementer an et, wann een Ziel vun all Element Formatioun ass nëmmen dat Element mat. Ausserdeem, bewisen Kapser datt d'Zuel vun den Elementer net un der Zuel vun subsets gläiche kann. Wann et déi selwecht Unzuel waren, wier et muss ƒ Fonktioun existéieren, datt Elementer op hir subsets Kaart wier. Gläichzäiteg kann et bewisen gin datt dat onméiglech ass. Puer Saache kann iwwert d'Funktioun ƒ subsets ugewisen dass se enthalen, anerer kënnen net.

Betruecht d'Ziel vun Elementer, déi net un hir Biller gehéieren, an déi se ƒ Kaart. Et ass u sech en Ziel vun Elementer, an dofir, ƒ Funktioun géif et op en Element am Domän Kaart. De Problem ass, dass dann d'Fro Ressort wéi bis ob dëst Element gehéiert zu der Ziel fir déi et ƒ weist. Dëst ass nëmme méiglech wann et gehéiert net. Russell d'Paradox kann als e Beispill vun der selwechter Linn vun dofir gesi ginn, just vereinfacht. Wat ass méi - de baut oder subsets vun der Formatioun? Et géif schéngen, datt et soll méi baut ginn, wéi all subsets vum Liewe selwer. Mä wann Kapser d'dësen wouer ass, da soll et méi subsets ginn. Russell preservéiert einfach Haaptsäit baut op selwer an applizéiert kantoriansky Approche de Set vun all deenen Elementer que, ausserhalb vun enger Formatioun an deem se ugewisen sinn. Weist Russell gëtt de Set vun all baut, eng asbl.

Feeler Frege

"De Paradox vun der Ligener" haten e staarken Impakt op d'historesch Entwécklung vun der Theorie vun baut. Hien huet, datt d'Konzept vun der allgemengt Formatioun héich problematesch ass. Hie gefrot och d'Notioun, datt fir all definéiert Zoustand oder predicate der Existenz vun engem Majorzsystem vun nëmmen déi Saachen, déi dës Konditioun zefridden ausgoen kann. Optioun Paradox betreffend d'Wunnengen - e natierlechen Extensioun zu der Versioun baut - opgewuess schlëmmen Zweifel wéi bis ob et ass méiglech iwwer d'Zil Existenz vun enger Propriétéit oder en allgemengt Konformitéit zu all vun der Konditioun, oder predicate sech ze streiden.

Geschwënn de contradictions an Problemer vun der Aarbecht vun der logicians fonnt goufen, Philosophen a Mathematiker deen ähnlech anzeschätzen gemaach hunn. An 1902, fonnt Russell datt eng Variant vun der Paradox kann an QShortcut ech vun Gottlob Frege senger "Fondatiounen vun Mathematik", eent vun den Haapt Wierker iwwert d'Logik vun der spéiden XIX an engem logesch System entwéckelt ausgedréckt ginn - fréi XX Joerhonnert. An der Philosophie vun Frege vill als "Endung" oder "Wäert-Gamme" Konzept verstan. D'Konzepter sinn déi meeschten déi vun deemolegt Weltbild. Si fir all entscheet Zoustand oder predicate ze existéieren erwaart. Also, et ass e Konzept vun enger Formatioun, déi net ënnert seng Definitioun Konzept heescht falen. Et ass och eng Klass vun dësem Konzept definéiert, an et ass Thema ze definéieren seng Konzept nëmmen wann et net ass.

Russell ugeschriwwen Frege iwwer dëse Konflikt am Juni 1902 den éischte ee vun de stäerkste spannend ginn huet an geschwat an der Geschicht vun Logik iwwer. Frege direkt unerkannt der fatal Konsequenzen vun der Paradox. Hien feststellen, awer, dass d'Versioun vum kontroverse iwwer d'Eegeschafte vun sengem Philosophie vun Ënnerscheedung tëscht de Konzepter vun Niveauen geléist war.

Frege d'Notioun verstane wéi den Iwwergank vum Argumenter vun der Funktioun ze Richteg. D'Konzepter éischt Niveau huelen den Argumenter déi Objete vun der zweeter Niveau Konzepter huelen als Argumenter fir dës Funktiounen, an sou op. Also, kann d'Konzept huelen ni selwer als Argument, an de Paradox an Begrëffer vun der Eegeschafte net formuléiert ginn. Trotzdem baut, Expansioun oder Konzepter Frege verstan als wéi datt vun all aner Objeten déi selwecht logesch Typ schwätzen. Dann fir all Formatioun do ass eng Fro, ob dat ënnert dem Konzept schléift et vun Definitioun.

Wann Frege, Russell den éischte Bréif kritt, ass déi zweet Ausgab vun "Fondatiounen vun Mathematik" Drécken scho fäerdeg. Hie war gezwongen ze séier eng Applikatioun preparéieren, datt eng Äntwert op de Paradox vum Russell gëtt. Beispiller Frege Texter eng Rei vun méiglechen Léisungen. Mä hien huet zu der Conclusioun d'Konzept vun abstraction Formatioun an engem logesch System ze schwächen.

Am Original huet, et méiglech, dass den Objet ze schléissen un der Formatioun gehéiert, wann a nëmme wann et am Konzept falen, et definéiert. D'iwwerschafft System kann nëmmen schléissen, datt den Objet zu der Formatioun gehéiert, wann a nëmme wann et am Begrëff falen engem Majorzsystem vun Definitioun, mä net an Fro setzen. Russell d'Paradox Ressort.

Der Léisung, ass awer net ganz zefridden mat Frege. An dëst war de Grond. Puer Joer méi spéit, méi komplex Form vun der kënne gouf fir d'iwwerschafft System fonnt. Awer och virun dat geschitt as, opginn Frege seng Décisiounen a schéngen an der Konklusioun ze kommen, datt seng Approche einfach onausféierbar war, an datt Logik wäert ouni vun der baut ze maachen hunn.

Nach anerer goufen, relativ méi erfollegräich alternativ Léisungen proposéiert. Dës sinn ënnert diskutéiert.

D'Theorie vun Zorte

Et war feststellen virun datt Frege eng adäquat Äntwert op d'Paradoxes war vun Formatioun Theorie am fir Eegeschafte formuléiert Versioun. Frege d'Äntwert war duerch déi oft diskutéiert Léisung fir dës Form vu Paradox Zousaz. Et ass op d'Tatsaach baséiert datt d'Wunnengen zu verschidden Zorte Sujet sinn a wat Zort Propriétéit ass ni déi selwecht wéi déi Saache fir déi se bezitt.

Also, net och der Fro loossen, ob de Besëtz ass fir selwer zou. Logesch Sprooch, déi Elementer vun esou enger Hierarchie trennt, der Theorie vun Zorte benotzt. Obwuel et schonn duerch Frege, déi éischte Kéier benotzt gëtt ass et voll erkläert a Russell am Decombis zu der "Prinzip" fondéierten. D'Theorie vun Zorte war méi komplett wéi den Ënnerscheed vun Frege Niveauen. Si gedeelt Eegeschafte sinn net nëmmen verschidden Zorte vu Logik, mä och ageriicht. Typ Theorie Wéi am Paradox vun Russell folgendermoossen ze léisen.

Fir eng Mëschleng adequate gin, verlaangt d'Adoptioun vun der Theorie vun Zorte vu Eegeschafte der Entwécklung vun der Theorie vun der Natur vun der Eegeschafte sou datt erklären kéint firwat se net ze selwer applizéiert gin kann. Op den éischte Bléck, mécht et Sënn hiren eegene Besëtz ze predicate. De Besëtz vun Self-Identitéit ginn, géif et schéngen, et ass och e Self-Identitéit. De Besëtz schéngt eng léif erhuelsam ginn. Am selwechte Wee, scheinbar, schéngt et falsch ze soen, dass de Besetz vun en Kaz eng Kaz ass.

Trotzdem, gerechtfärdegt verschidde Gaullisme der Divisioun vun verschiddenen Zorten. Russell huet souguer verschidden Erklärungen bei verschiddenen mol a senger Carrière. Fir hiren Deel, kennt der rationale fir d'Trennung vun de verschidde Konzepter vun Frege Niveauen aus senger Theorie vun unsaturated Konzepter. Konzepter wéi Funktioun, an Essenz, sinn onvollstänneg. Fir Wäert, brauchen se eng Argument. Dir kënnt net just ee Konzept de Konzept vun der selwechter Zort ze predicate, well et nach seng Argument verlaangt. Zum Beispill, wann et méiglech ass d'Feld Wuerzel vum Feld Wuerzel vun enger Zuel ze huelen, kënnt Dir net nëmmen e Metercarré root Funktioun op d'Feld root Funktioun benotzen an e Resultat kritt.

Iwwert conservatism Eegeschafte

Aner méiglech Léisung ass de Paradox Eegeschafte Negatioun Eegeschafte Existenz ënner all Konditioune kritt, oder eng gutt-geformt predicate. Natierlech, wann een nämlech geschriwwen Eegeschafte vun zwee objektiv an onofhängeg Elementer als Ganzt eschews, wa mer nominalism Paradox huelen kann misst verhënnert ginn.

Allerdéngs muss de antinomy ze léisen net sou extrem ginn. Logik héich Fir Systemer entwéckelt Frege a Russell, enthalen wat engem konzeptuellen Prinzip genannt gëtt, no deem all oppen Formelen egal wéi komplex gëtt als Deel vun enger Propriétéit oder Konzept zum Beispill, nëmmen deenen Elementer, datt d'Formel Match. Si applizéiert op d'Attributer vun all méiglech Formatioun vun Konditiounen oder predicates, egal wéi komplex si waren.

Trotzdem, et ass méiglech eng méi genau Verkéierssécherheet Eegeschafte ze huelen, d'Recht op d'Zil Existenz vun einfache Eegeschafte Féierung, dorënner, zum Beispill, wéi rout Faarf, firmness, Frëndlechkeet a sou op. D. kënnt Dir och loosse dës Eegeschaften gëlle fir selwer, wéi Frëndlechkeet kann ginn Aart.

An déi selwecht Statut fir komplex Attributer kann zum Beispill Refusen, ginn, wéi "Eegeschafte" als siwwenzéng-Kapp no, gin-schrëftlech ënnert-Waasser an der gären. D. An dësem Fall heescht kee Prinzip Conditioun net d'Proprietéit treffen, verstan wéi getrennt bestehend Element, wat seng eege Eegeschaften huet. Sou kann een d'Existenz vun einfache Eegeschafte ginn-Propriétéit-dat-Net-applizéiert-ze-Self verleegnen an Paradox vermeiden duerch méi konservativen nämlech geschriwwen Eegeschafte Kandidatur.

Russell d'Paradox: d'Léisung

Uewen et feststellen dass Frege komplett um Enn vu sengem Liewen der Logik vun baut opginn. Dëst, natierlech, eng Léisung fir d'antinomy a Form vun ausgedréckt: eng einfach Negatioun vun der Existenz vun esou Elementer als Ganzt. Zousätzlech ginn et aner populär Choixen, sinn d'Grondlage vun deem hei ënnendrënner.

D'Theorie fir vill Zorte vun

Wéi virdrun erwähnt, huet Russell fir eng méi komplett Theorie vun Zorten, déi net nëmmen d'Eegeschafte oder Konzepter fir verschidden Zorte, mä och Formatioun deelen géif. Russell gedeelt op e Majorzsystem vun separat Unitéiten virbereet, e Majorzsystem vun Liewe vun eenzelnen Objeten, asw D'Liewe vun Objete goufen net considéréiert, an e Majorzsystem vun baut - .. baut. A vill ni mat der Zort, léisst dir als Member vun selwer hunn. Dofir gëtt et kee Set vun all besot datt net Memberen vun eegene sinn, well fir all Formatioun vu Froen iwwer ob et als Member ass, ass u sech eng Violatioun Typ. Erëm, hei de Problem ass d'Verkéierssécherheet baut ze erklären der philosophescher Fundamenter vun der Divisioun an Zorte ze erklären.

stratification

An 1937, huet V. V. Kuayn eng alternativ Léisung, an engem ähnleche Wee an d'Theorie vun Zorte ugebueden. Basis Informatiounen doriwwer sinn.

Ofgetrennt Element baut an anerer. Made sou datt der Virgab vun e Majorzsystem fannen ëmmer ass Guichet oder Sprooch. Liewe kann nëmme gëtt gin wann hir Konditiounen ze definéieren si net eng Violatioun Typ. Sou, fir Quine, den Ausdrock "x net Member vun x ass" ass de sënnvoll Ausso net d'Existenz vun de Set vun all Elementer x zefriddestellend dës Konditioun bestëmmten.

An dësem System existéiert eng Formatioun fir e puer oppen Formule A wann a nëmme wann et stratified ass, t. E. Wann der Verännerlechen positiv integers sou datt fir all charakteristesche Optriede vun engem Majorzsystem vun virecht et ofwiesselnd zougewisen ginn ass Aufgab Eenheet zougewisen kleng wéi d'Variabel, folgenden no him. Dës Bléck Russell d'Paradox, well d'Formel de Problem Formatioun ze bestëmmen benotzt, et ass déi selwecht virun an no der Variabel Memberschaft Zeechen et unstratified Mëtt spazéieren.

Mä et ass nach ob déi doraus resultéierend System ze bestëmmen, wat Quine "New Fondatiounen vun mathematesch Logik" konsequent genannt.

Ofleenung

Fraenkel (ZF) - eng ganz aner Approche ass an der Theorie vun Zermelo geholl. Hei, zevill, Formatioun eng Limite op der Existenz vun baut. Amplaz, Approche der "Top-Down" vun Russell an Frege, deen am Ufank geduecht, datt fir all Konzepter, Wunnengen, oder Konditiounen kann d'Existenz vun de Set vun all Saache mat dëser Propriétéit proposéiere oder esou engem Zoustand ze treffen, an ZF-Theorie, alles fänkt "vun ënnen erop."

Eenzel Elementer vun der eidel Formatioun an enger Formatioun Form. Dofir, am Géigesaatz virdrun Systemer a Russell Frege FIT net un der allgemengt Formatioun gehéieren déi all Elementer ëmfaasst a souguer all d'Liewe. ZF baut strikt Limiten op der Existenz vun baut. Mee existéieren nëmmen déi fir deen et kloer postulated ass oder déi vun heescht vun iterative Prozesser an der wéi formuléiert kann. D.

Dann, amplaz vum Konzept abstraction granzt Formatioun déi Staaten déi eng bestëmmte Element an der Formatioun abegraff ass, wann a nëmme wann et d'Konditiounen an der Trennung Prinzip meets benotzt DF, Trennung oder "Centre". Amplaz unzehuelen der Existenz vun de Set vun all Elementer déi ouni Ausnam sinn e gewësse Conditioun zefridden, fir all bestehend Formatioun bedeit Aussonderung der Existenz vun engem Ziel vun all Elementer am Original Formatioun déi den Zoustand hannereneen.

Da abstraction Prinzip geet: wann der Formatioun A existeiert, dann, fir all x am A, gehéiert x op d'Ziel A, déi der Conditioun hannereneen wann a nëmme wann x hannereneen déi Conditioun C. Dës Approche de Paradox Russell Hohn, well mir net einfach kënnen dovun ausgoen dat heescht, d'Formatioun vun all besot datt net Memberen vun selwer sinn.

vill vun besot hunn, kënnt Dir et an baut eraussichen oder Gruef, deen an selwer sinn, an déi, déi net esou sinn, mä well et keen allgemengt Formatioun ass si mir net Set vun all baut gebonnen. Ouni de Problem unzehuelen baut Russell kënne net bewisen gin kann.

aner Léisungen

Zousätzlech, goufen et Kierzunge Betriebsdauer oder Ännere vun dësen Léisungen, wéi eng FORK-Typ Theorie vun "Grondsätz Mathematik" System Expansioun "mathematesch Logik" Quine, wéi och méi rezent Entwécklungen an der Theorie vun baut, huet Bernays, Gödel a von Neumann. D'Fro vun ob d'Äntwert op d'insoluble Paradox Bertrand Russell fonnt, ass nach eng Fro vun der Debatt.